É preciso ter em mente que todos estes cálculos foram feitos sem computadores! Calculando milhares de operações e centenas de raízes quadradas "à mão", este foi o método usado tanto na China como no Ocidente para obter valores aproximados de π durante quase 2000 anos.
O grande avanço que se seguiu surgiu de direções totalmente novas e resultou principalmente da evolução nos ramos da Análise Matemática e da Trigonometria.
A história da trigonometria remonta ao Egito e à Babilônia, onde foram criados rudimentos para resolver problemas de agrimensura e astronomia, mas é o astrónomo grego Hiparco de Niceia (190 a.C.-120 a.C.), considerado o "pai da trigonometria", que desenvolveu a primeira tabela trigonométrica de cordas e introduziu a divisão do círculo em 360°. Posteriormente, na Índia, Aryabhata (476 d.C.-550 d.C.) introduziu as funções de seno e cosseno.
Lentamente, a partir do século XVI, os matemáticos começaram a manipular somas e produtos com um número infinito de factores. Um exemplo disto é uma fórmula descoberta pelo matemático francês François Viète (1540–1603). Ele observou que a área de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 1 é igual a 2. Em seguida, observou que se se substituísse o quadrado por um octógono regular, a área deste seria igual a \(\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{2}}}\).
Se se tivesse um polígono regular de 16 lados a sua área seria \(\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\sqrt{\frac{1}{2}}}}\)
e assim sucessivamente. Sendo assim, concluiu Viète, uma vez que à medida que se aumenta o número de lados mais a área do polígono se aproxima da do círculo, que é igual a π, tem-se
\(\pi=\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\sqrt{\frac{1}{2}}}\times\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\sqrt{\frac{1}{2}}}}\times...}\)
Esta fórmula, embora de origem geométrica, envolve um produto com uma infinidade de factores, que é um conceito tipicamente retirado da Análise. Uma fórmula do mesmo género mas que não envolve raízes quadradas foi descoberta pelo matemático inglês John Wallis (1616–1703)
\(\pi=2\times\frac{2}{1}\times\frac{2}{3}\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{5}\times\frac{6}{7}\times...\)
O cálculo de π foi revolucionado com o desenvolvimento de técnicas de séries infinitas nos séculos XVI e XVII. Uma série infinita é a soma dos termos de uma sequência infinita. Séries infinitas possibilitaram que matemáticos computassem π com muito mais precisão do que Arquimedes e outros que utilizaram técnicas geométricas.
Na década de 1660, o cientista inglês Isaac Newton e o matemático Gottfried Wilhelm Leibniz descobriram o cálculo infinitesimal, que levou ao desenvolvimento de diversas séries infinitas para aproximar π.
Poucas décadas mais tarde, Leibniz apresenta a sua fórmula.
Os milhares de operações e centenas de raízes quadradas continuaram a ser feitos "à mão", mas as ferramentas e métodos disponíveis tornaram-se mais sofisticadas. A matemática tinha evoluido!
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