Algoritmo de Liu Hui (III d.C.)

O algoritmo de Liu Hui para π foi inventado por Liu Hui, um matemático do império de Cao Wei. Antes de sua época, a razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro era muitas vezes tomada experimentalmente como três na China, por vezes representada como sendo 3,1724 (da proporção do círculo celeste com o diâmetro da Terra, \(\frac{92}{29}\)) ou como \(\pi \approx {\sqrt {10}} \approx 3,162\). Liu Hui não ficou satisfeito com este valor. Outro matemático, Wang Fan (228-266), forneceu \(\pi \approx \frac{142}{45} \approx 3,156\). Todos esses valores empíricos para π eram precisos para dois dígitos (ou seja, uma casa decimal). Liu Hui foi o primeiro matemático chinês a fornecer um algoritmo rigoroso para o cálculo de π para qualquer precisão. O próprio cálculo de Liu Hui com um polígono de 96 lados forneceu uma precisão de cinco dígitos:

\(\pi \approx 3,1416\).

Liu Hui observou no seu comentário em "Os nove capítulos da arte matemática", que se a relação do perímetro de um hexágono inscrito com o diâmetro da circunferência era três, então π deve ser maior que três. Ele passou a fornecer uma descrição detalhada passo-a-passo de um algoritmo iterativo para calcular π com qualquer precisão estabelecida com base em bisseção de polígonos; calculou π entre 3,141024 e 3,142708 com um polígono de 96 lados;

Liu Hui argumentou: "Multiplique um lado de um hexágono pelo raio (de sua circunferência circunscrita), e então multiplique este resultado por três, para obter a área de um dodecágono; se cortarmos um hexágono em um dodecágono, multiplicarmos seu lado pelo seu raio e, novamente, multiplicarmos por seis, obtemos a área de um polígono de 24 lados; quanto mais fino cortamos, menor a perda em relação à área do círculo, portanto, com mais corte após corte, a área do polígono resultante coincidirá e se tornará uma com o círculo; não haverá perda".

Aparentemente, Liu Hui já havia dominado o conceito do limite

\(\displaystyle\lim_{N \to \infin} área\ do\ polígono\ de\ N\ lados =\ área\ do\ círculo\)

Liu Hui também provou que a área de um círculo é metade de seu perímetro multiplicado por seu raio: "Entre um polígono e um círculo, há excesso de raio. Multiplique o excesso de raio por um lado do polígono. A área resultante excede o limite do círculo".

Zu Chongzhi (429-500) melhorou o algoritmo de Liu Hui, que utilizava polígonos com um número crescente de lados para aproximar um círculo. Ao calcular o perímetro de um polígono de 24.576 lados, ele determinou que π estava entre 3,1415926 e 3,1415927, um resultado com sete casas decimais de precisão.

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